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Trigonometria, Adição e subtração de arcos

Trigonometria, Cosseno da diferença de arcos

Trigonometria, Fórmulas Derivadas da Fundamentais

Trigonometria, Funções

Trigonometria, Funções Inversas

Trigonometria, Multiplicação e Divisão de arcos

Trigonometria, Período das funções

Trigonometria, Período das funções

Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x Î D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p Î D.

Se f(x+p) = f(x) para todo x Î D, dizemos que a função f é periódica.

Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f.

Complicado? Não!
Veja o exemplo abaixo:

Seja y = f(x) = senx
Temos que f(x+2p ) = sen(x+2p ) = senx.cos2p + sen2p .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx
ou seja, f(x+2p ) = f(x).
Portanto, sen(x+2p ) = senx

Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2p radianos.

Analogamente, concluiríamos que:
O período da função y = cosx é 2p radianos.
O período da função y = secx é 2p radianos.
O período da função y = cosecx é 2p radianos.
O período da função y = tgx é p radianos.
O período da função y = cotgx é p radianos.

As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações:
cos(x+2p ) = cosx|
sec(x+2p ) = secx
cosec(x+2p ) = cosecx
tg(x+p ) = tgx
cotg(x+p ) = cotgx

De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da função
y = a+b.sen(rx + q)
é dado por:

Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função.
A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a + b.cos(rx+q).

No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:

Exemplos:

Determine o período das seguintes funções trigonométricas:
a) y = sen(2x - 45º)
Resposta: T = 2p /2 = p radianos

b) y = 2.cos(3x+45º)
Resposta: T = 2p /3 rad = 120º . (Lembre-se que p rad = 180º).

c) y = 5 + 10.cos(p x + 2)
Resposta: T = 2p /p = 2 rad

d) y = tg(2x - p )
Resposta: T = p /2 rad

e) y = sen2x.cos4x + sen4x.cos2x
Resposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x
Logo, T = 2p /6 = p /3 rad ou 60º.

f) y = senx + cosx
Resposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo,
y = senx + sen(90º - x)

Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx.
Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.

Portanto o período procurado será T = 2p /1 = 2p rad.

Agora resolva estes:

Determine o período das seguintes funções:
a) y = sen10x
Resposta: T = p /5 rad.

b) y = 1 + cos(2x+p /4)
Resposta: T = p rad.

c) y = sen(x/3) + cos(x/2)
Resposta: T = 12p rad.

Trigonometria, Multiplicação e Divisão de arcos

1 - Multiplicação de arcos

Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2.
Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las.

1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco

Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a
cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b
e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:
cos 2a = cos²a - sen²a

Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A fórmula acima somente é válida para tga ¹ 1 e tga ¹ -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!

Exemplos:

sen4x = 2.sen2x.cos2x
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
cosx = cos²(x/2) - sen²(x/2)
cos4x = cos²2x - sen²2x, ... , etc.

2 - Divisão de arcos
Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores.

2.1 - Cosseno do arco metade
Ora, sabemos que cos2a = cos²a - sen²a
Substituindo sen²a, por 1 - cos²a, já que sen²a + cos²a = 1, vem:
cos2a = 2.cos²a - 1. Daí, vem:
cos²a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos²(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.2 - Seno do arco metade
Podemos escrever: cos2a = (1-sen²a) - sen²a = 1 - 2sen²a
Daí vem: sen²a = (1 - cos2a)/2
Fazendo a = x/2 , vem: sen²(x/2) = (1 - cosx) / 2.
Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.3 - Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Exercício resolvido
Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a

Solução:
Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,
y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)
Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.
Lembre-se que 1 - cos²a = sen²a.
Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?

3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:
sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b.

Fazendo
a + b = p
a - b = q
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2

Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2.sen45º.cos5º

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

Exemplos:

cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º
sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.

Trigonometria, Funções Inversas

1 – Função arco seno

Considere a função y = senx . Sabemos que para achar a inversa, basta permutar x por y e vice-versa. Nestas condições a inversa será x = seny.

Entretanto, sabemos do estudo geral das funções, que a inversa de uma função será também uma função se e somente se a função dada for bijetora. Como sabemos que a função y = senx não é bijetora em R, (se necessário, revise esse conceito no capítulo Funções) , para que a sua inversa seja também uma função, deveremos definir um intervalo na qual a função seno seja bijetora.
Este intervalo é: [-p /2, p /2]
Assim, a função f: [-p /2, p /2] ® [-1, 1] definida por y = senx é bijetora.
Então, a inversa x = seny terá domínio [-1, 1] e conjunto imagem [-p /2, p /2] e, neste caso, será também uma função.

A igualdade x = seny costuma ser escrita como y = arcsenx que lê-se: y é o arco cujo seno é x.
Em resumo: y = arcsenx para -1 £ x £ 1 e -p /2 £ x £ p /2.
Nunca esqueça que y = arcsenx Û seny = x, considerando-se as limitações para x e y impostas acima.

Exemplos:

a) sen p /6 = 1/2 Û p /6 = arcsen (1/2)
b) sen p = 0 Û p = arcsen 0
c) sen 0 = 0 Û 0 = arcsen 0 (lê-se: 0 é o arco cujo seno é 0).

Exercício Resolvido

Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arcsen 4x?
Solução:
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2.
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].

Analogamente definiríamos as funções arco coseno e arco tangente .

1. Função arco coseno
y = arccosx Û x = cosy , para 0 £ y £ p e –1 £ x £ 1.
Exemplo: cos 60º = 1/2, logo 60º = arccos 1/2 (Obs: 60º = p /3 rad)

2. Função arco tangente
y = arctgx Û x = tgy , para -p /2 < y < p /2 e x Î R.
Exemplo: tg 45º = 1, logo 45º = arctg 1 (Obs: 45º = p /4 rad)

Exercícios Resolvidos:

1. Calcule y = tg(arcsen 2/3)

Solução:
Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem:
sen²w + cos²w = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria).
Substituindo o valor de senw vem:
(2/3)² + cos²w = 1 de onde conclui-se: cos²w = 1 – 4/9 = 5/9.
Logo:
cosw = ± Ö 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de
–90º a +90º, intervalo no qual o coseno é positivo. Logo: cosw = +Ö 5 /3.
Temos então: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / (Ö 5/3)] = 2/Ö 5
Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2Ö 5)/ 5 que é o valor de y procurado.

2. Calcular o valor de y = sen(arc tg 3/4).

Solução:
Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever:
tgw = 3/4 Þ senw / cosw = 3/4 Þ senw = (3/4).cosw
Da relação fundamental da Trigonometria, sen²w + cos²w = 1, vem, substituindo o valor de senw:
[(3/4).cosw]² + cos²w = 1 \ 9/16.cos²w + cos²w = 1 \ 25/16 . cos²w = 1
cos²w = 16/25 Þ cosw = ± 4/5.
Como w = arctg 3/4, sabemos da definição da função arco tangente que w varia no intervalo
–90º a +90º , intervalo no qual o coseno é positivo.
Logo, cosw = + 4/5.
Mas, senw = (3/4).cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto:
y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que é a resposta procurada.

Agora resolva os seguintes:

1) Qual o domínio da função y = arccos(1 – logx)?

2) Resolver a equação: arcsenx = 2 arccosx

Respostas: 1) D = [1,100] 2) x = Ö 3/2.

Trigonometria, Funções

1 - Funções trigonométricas: seno, cosseno , tangente, cotangente, secante e cossecante.

Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário).
Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis:
A(1;0) , B(0;1) , A’(-1;0) e B’(0;-1).

Definiremos os seguintes eixos:

A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1)
B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ® variando no intervalo real (-¥ , +¥ ).

Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são:
x₀ = abscissa e y₀ = ordenada, ou seja: U(x₀ , y₀).

Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos:
1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y₀ e indicamos: sen a = y₀ .
2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x₀ e indicamos: cos a = x₀

Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1.

Da figura acima, podemos escrever: x₀² + y₀² = OU²; mas, OU = raio do círculo trigonométrico
e portanto vale 1.
Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x₀ = cos a e y₀ = sen a :

sen²a + cos²a = 1

denominada relação fundamental da Trigonometria.

Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes).

Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre
90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante).

Valores notáveis do seno e cosseno:

sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0
sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1
sen 270º = cos 180º = -1

Ainda na figura anterior, observe o segmento AT.
O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a.
Indicamos isto escrevendo tg a = AT.
A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissa e das ordenadas.

Pela semelhança dos triângulos Ox₀U e OAT, podemos escrever:

;
mas como y₀ = sen a, x₀ = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

para cos a ¹ 0.

Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos.

Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais!

Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber:

1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec)
2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec)
3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg )

Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:

para sen a ¹ 0.

para cos a ¹ 0.

para sen a ¹ 0.

Exercícios Resolvidos

1. Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x ?

Solução:
O valor máximo da função ocorre quando o fator cos20x é máximo, isto é, quando cos 20x = 1. Logo, o valor máximo da função será y = 10 + 5.1 = 15.

2. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x?

Solução:
O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando sen2x = -1.
Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 .

3. Qual o valor máximo da função ?
Solução:
A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x = 1 \
y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2.
Portanto, o valor máximo da função é 5/2.

Qual seria o valor mínimo da mesma função?
Resposta: 5/4

4. Para que valores de m a equação sen 30x = m - 1 tem solução?

Solução:
Ora, o seno de qualquer arco, é sempre um número real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 £ m -1 £ 1 \ 0 £ m £ 2.

Agora calcule:

a) o valor mínimo da função y = 2 + 9sen4x.
b) o valor máximo da função y = 10 - cosx .
c) o valor de y = sen 180º - cos270º
d) o valor de y = cos 180º - sen 270º
e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro.

Respostas: a) - 7 b) 11 c) 0 d) 0 e) 1

Trigonometria, Fórmulas Derivadas da Fundamentais

Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber:

Dado um arco trigonométrico x , temos:

Fórmula I: Relação Fundamental da Trigonometria.

sen²x + cos²x = 1
[o mesmo que (senx)² + (cosx)² = 1]

Fórmula II: Tangente.

Fórmula III: Cotangente.

Fórmula IV: Secante.

Fórmula V: Cossecante.

Nota: considere nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO.
Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x ; se sen x = 0, não existe a cosec x, ...

Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos² x¹ 0.
Teremos:

Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte fórmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonométrico x:

tg²x + 1 = sec²x

Se ao invés de dividirmos por cos²x, dividíssemos ambos os membros por sen²x, chegaríamos a:

cotg²x + 1 = cosec²x

As duas fórmulas anteriores, são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores, têm necessariamente de ser memorizadas, e isto é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto, fique tranqüilo(a).

Trigonometria, Cosseno da diferença de arcos

Dedução da fórmula

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b.

Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b.
Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam.

Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:
AB² = OB² + OA² - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1)
Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).
AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb).
Já vimos nesta página, a fórmula da distancia entre dois pontos; se você não se lembra, revise os textos sobre Geometria Analítica .
Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem:
(cosa - cosb)² + (sena - senb)² = 1² + 1² - 2.1.1.cos(a -b)
Desenvolvendo, vem:
cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a - 2.sena.senb + sen²b = 2 - 2cos(a - b)
Lembrando que cos²a + sen²a = cos²b + sen²b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:
1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b)
Simplificando, fica:
-2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b)
Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos(a - b) = cosa . cosb + sena . senb

Exemplo: cos(x - 90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º
Ora, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente:

cos(x - 90º) = senx.

Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos:
cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(- b) = cosb

Portanto:
cos( - 60º ) = cos60º = 1/2, cos( - 90º) = cos90º = 0, cos ( -180º) = cos 180º = -1, etc.
Se considerarmos a função y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções.

Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º).
Resposta: 2senx

Trigonometria, Adição e subtração de arcos

Adição e subtração de arcos

1. Vimos em Trigonometria V, a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos(a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso.

2. Sejam a e b dois arcos trigonométricos.

São válidas as seguintes fórmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria é essa necessidade imperiosa de memorização de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. Talvez, a melhor solução seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das fórmulas necessárias à sua resolução, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocínio necessários para manipulá-las algébricamente e, aí sim teria sido feito justiça! Fica a sugestão aos professores!.

Eis as fórmulas, já conhecidas de vocês, assim espero.

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb
cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb
sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero!
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
sen2a = 2sena . cosa
cos2a = cos²a – sen²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2.sen²a

Trigonometria

1 - Introdução

• Trigonometria: vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida).
• É claro que Hiparco (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia.
• A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria.
• O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria.
• O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego (90 - 168).
  Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos.
  Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada como válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) e confirmada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642).
• Por enquanto, vamos ver apenas a definição de círculo trigonométrico, após o resumo histórico supra. Nos próximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir.

O círculo trigonométrico é orientado positivamente no sentido ABA’B’A. O sentido AB’A’BA é considerado negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB’ mede -90º . O arco ABA’ (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB’A’ mede (-180º).
O arco de uma volta completa (ABA’B’A) mede 360º ;
O arco AB’A’BA mede( -360º), ou seja, é um arco negativo.
Já sabemos que 360º = 2p radianos.

Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta.
Sabendo que uma volta equivale a 360º , podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º , para reduzi-lo à primeira volta, basta dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonométricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação positiva.

Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º . Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k . 360º , onde k é um número inteiro.
Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2p radianos, pois 2p rad = 360º).
Os arcos 2780º e 1700º , por exemplo são côngruos , pois
2780º - 1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º
(1080º / 360º = 3 , com resto nulo).

Exercício resolvido:

Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas (4m+10).180º e (3m-2).180º ?

Solução:

Pela definição de arcos côngruos dada acima, deveremos ter:

(4m+10).180º - (3m-2).180º = k . 360º , onde k é um número inteiro.
720m + 1800 -[540m - 360] = k . 360
720m + 1800 - 540m + 360 = k . 360
180m + 2160 = k . 360
180m = k . 360 - 2160
m = 2k - 12
Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:
30 < 2k - 12 < 40
42 < 2k < 52
21 < face="Symbol">Þ k = 22, 23, 24 ou 25.
Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também 4 valores possíveis para m,
já que m = 2k - 12.

Resposta: m possui 4 (quatro) valores distintos.

Testes Verdadeiro - Falso

1 - Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos
2 - Os arcos de (- 420º ) e 300º são côngruos.
3 - O arco de 10.002º pertence ao segundo quadrante.
4 - O arco de (- 200º) pertence ao segundo quadrante.

Gabarito:
1 - V
2 - V
3 - F
4 - V

TS Teorema dos Senos

Considere a figura abaixo, onde vemos um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC.

Na figura acima, temos:
AH = diâmetro da circunferência = 2R
(R = raio)
AO = OH = raio da circunferência = R
Medidas dos lados do triângulo ABC:
AB = c, BC = a e AC = b.
Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é reto (90º), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo.
Podemos então escrever:
sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2R
Logo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R.

Analogamente chegaríamos às igualdades
c/senC = 2R
a/senA = 2R
Como estas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:

Esta expressão mostra que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
Este é o teorema dos senos – TS.

O teorema dos senos visto acima, permite a dedução de uma importante fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer. Seja o triângulo ABC da figura abaixo, de altura h.

Sabemos que a área de um triângulo é igual ao semiproduto da base pela altura:
S = 1/2 . base . altura . Logo,
S = 1/2 . a . h

Mas, no triângulo retângulo CAH, podemos escrever:
sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b Þ h = b.senC
Substituindo na fórmula da área acima, vem:
S = 1/2.a.b.senC

Mas, sabemos do teorema dos senos que
c/senC = 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Logo: senC = c / 2R
Portanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R.
Temos então a seguinte fórmula para o cálculo da área de um triângulo qualquer:

onde a, b e c são as medidas dos lados do triângulo e R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo e S a área do triângulo.
Já sabemos da Geometria Plana, que a área de um triângulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, é dada pela fórmula:

onde p é o semiperímetro do triângulo ou seja: p = (a+b+c) / 2
Esta fórmula é conhecida comumente como Fórmula de Heron.
Heron de Alexandria – célebre geômetra grego. Viveu no século 1º da era cristã.
Assim, substituindo o valor de S da fórmula anterior, na fórmula S=abc/4R, encontraremos uma fórmula útil para o cálculo do raio da circunferência circunscrita a um triângulo qualquer
de lados a, b e c:

Temos: S = abc / 4R Þ R = abc / 4S
Portanto,

Onde p, conforme vimos acima é o semiperímetro dado por p = (a+b+c)/2.

Exemplo de aplicação: Vestibular da Univ. Federal do Ceará/1990
Seja R o raio do círculo circunscrito ao triângulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R.

Solução:
Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 Þ p = (10+17+21) / 2 = 24
Portanto, substituindo diretamente na fórmula acima, fica:

Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85.
Portanto, 8R = 85, que é a resposta do problema.
Resposta: 85m

TC Teorema dos Cosenos

Considere o triângulo ABC na figura abaixo:

AH = altura do triângulo em relação à base CB.
Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a.

Podemos escrever no triângulo AHB:
AH² + HB² = c² (Teorema de Pitágoras).

Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC:

b² = CH² + AH²
Mas, CH = CB – HB = a – HB
Portanto: b² = (a - HB)² + AH²
b² = a² – 2.a.HB + HB² + AH²
Observe que HB² + AH² = AB² = c²
Então fica: b² = a² + c² – 2.a.HB
No triângulo retângulo AHB, podemos escrever:
cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c
Daí, HB = c.cosB
Substituindo, fica:
b² = a² + c² – 2.a.c. cosB

Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo coseno do angulo que eles formam.

Isto é o TEOREMA DOS COSENOS – TC.

Analogamente, poderemos escrever:
a² = b² + c² – 2.b.c.cosA
c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Em resumo:

a² = b² + c² – 2.b.c.cosA
b² = a² + c² – 2.a.c.cosB
c² = a² + b² – 2.a.b.cosC

Exemplo 1: Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do outro lado?
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x² = 4² + 8² – 2.4.8.cos60º = 16 + 64 – 2.4.8.(1/2), já que cos60º = 1/2.
x² = 16 + 64 – 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:
x² = 4².3 Þ x = 4Ö3 cm

Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R.

R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado PQ do hexágono regular será dado pelo teorema dos cosenos por:
PQ² = R² + R² – 2.R.R.cos60º = 2R² – R² (Obs: cos60º = 1/2)
PQ² = R², de onde conclui-se: PQ = R.

CONCLUSÃO:
A medida do lado de um hexágono regular inscrito num círculo de raio R é igual a R. Esta é uma propriedade importantíssima dos hexágonos regulares.
Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexágonos regulares.

TA Teorema das Áreas

Sabemos de aula anterior, Teorema dos Senos que a área S de um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R e cujos lados medem a, b e c é dada pela fórmula:
S = abc /4R

Sabemos também, da teoria exposta no mesmo arquivo anterior, que

c/senC = 2R (Teorema dos senos – TS).
Podemos então dizer que c = 2R.senC
Substituindo na fórmula da área acima, vem:
S = a.b.2R.senC / 4R , que simplificada fica:
S = (1/2).ab.senC , onde C é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b .

Portanto, a área de um triângulo qualquer é igual ao semi-produto das medidas de dois lados pelo seno do angulo que eles formam entre si. Isto é o Teorema das áreas - TA.

Genericamente, podemos escrever a fórmula acima em função de qualquer par de medidas dos lados a saber:


Exemplo : Dois lados de um triângulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um angulo de 30º. Qual a área desse triângulo?
Solução: S = (1/2).10.20.sen30º = (1/2).10.20.(1/2) = 50cm²
Obs: sen30º = 0,5 = 1/2

Repetindo: a área de qualquer triângulo é igual a metade do produto de dois lados pelo seno do angulo que eles formam.

Sistemas Lineares, Regra de Cramer

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
....................................................= ...
....................................................= ...
a_n1x₁ + a_n2x₂ + a_n3x₃ + ... + a_nnx_n = b_n

onde os coeficientes a₁₁, a₁₂, ..., a_nn são números reais ou complexos, os termos independentes
b₁, b₂, ... , b_n , são números reais ou complexos e x₁, x₂, ... , x_n são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja D x_i o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita x_i ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b₁, b₂, ... , b_n.

A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D x_i, ou seja:
x_i = D x_i / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x₁ = D x₁ / D = 120 / 24 = 5
x₂ = D x₂ / D = 48 / 24 = 2
x₃ = D x₃ / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y - 10z = - 39
x + y + z = 5

Resp: S = { (-1, 2, 4) }

Sistemas Lineares, Método de eliminação de Gauss

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x - 2y = 6

5x - 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
x - 2y + 3z = 1

3x + 2y - z = 5
2x + y + z = 7
3x - 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x - 3y = 22
5x + 2y = 32

15x - 3y = 22
...... - 9y = - 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1
2x . - .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3

SOLUÇÃO:
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-...y + z = 12
x ..+ 3y - 2z = 3
4x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:
2x - ..y + z = 12
.....- 7y + 5z = 6
4x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x - ..y + ..z = ...12
.....- 7y + 5z = ....6
........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -.....y + ....z =....12
.....- 35y +25z =... 30
.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x - .....y + ....z = ..12
.....- 35y + 25z = ..30
...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x - 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) - 2(4) = 3
2(5) - (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k₁
dy + ez = k₂
fz = k₃
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k₃ / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k₃ / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k₃ ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k₃ = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }
4x - 2y = 2
2x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = ...20
5 a + 3b - 10c = - 39
...a + ..b + ....c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = ...0
..x - 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31

Sistemas Lineares II

1 - Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x_1, x₂, x₃, ... , x_n) do tipo:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... + a_1nx_n = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n = b₂
a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... + a_3nx_n = b₃
.................................................................
.................................................................
a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + ... + a_mnx_n = b_n

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a_11, a₁₂, ... , a_1n, ... , a_m1, a_m2, ..., a_mn são denominados coeficientes e b_1, b₂, ... , b_n são os
termos independentes.
A ênupla (a ₁, a ₂ , a ₃ , ... , a _n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S1:	2x + 3y = 12
	3x - 2y = 5

S2:	5x - 2y = 11
	6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b₁ = b₂ = b₃ = ... = b_n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0

2 - Exercícios Resolvidos

2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S1:	x + y = 1
	x - 2y = -5

S2:	ax - by = 5
	ay - bx = -1

são equivalentes, então o valor de a² + b² é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Solução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S₁:
x + y = 1
x - 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S₂. Logo, substituindo em S₂ os valores de x e y encontrados para o sistema S₁, vem:
a(-1) - b(2) = 5 Þ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a² + b² = 1² + (-3)² = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.

2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18

Resp:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.

Sistemas Lineares I

1 - Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x₁, x₂, x₃, ... , x_n , como sendo a equação da forma
a₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + ... + a_n.x_n = b onde a₁, a₂, a₃, ... a_n e b são números reais ou complexos.
a₁, a₂, a₃, ... a_n são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x₁+3x₂ =7(variáveis ou incógnitas x₁ e x₂,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

-x₁ + 3x₂ -7x₃ + x₄ = 1 (variáveis x₁, x₂ , x₃ e x₄, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)

2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.

2 - A solução de uma equação linear

Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.

Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.

Seja por exemplo: x + y + z = 5

As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... .
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r₁, r₂, r₃ , ... , r_n) é solução da equação linear
a₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + ... + a_n.x_n = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x₁ = r₁, x₂ = r₂ , x₃ = r₃ , ... , x_n = r_n e poderemos escrever:
a₁.r₁ + a₂.r₂ + a₃.r₃ + ... + a_n.r_n = b.

3 - Exercícios resolvidos:

1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?

Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.

2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(a , b , g ) é solução.

Solução: Podemos escrever: 5a - 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 - 5a + 2b . Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 - 5a + 2b ).

Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b = 3, teremos
g = 14 - 5a + 2b = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(a , b , 14 - 5a + 2b ) a solução genérica.

Agora resolva estes:

1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resp : S = f

2 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y - 5z + 2t = 10.
Resp : -17

PG Progressão Geométrica

1 – Definição

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²
a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³
................................................
................................................

Infere-se (deduz-se) que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: a_j = a_k . q^j-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:
a₁₀ = a₁ . q⁹ = 2 . 2⁹ = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então q⁴ =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B² = A . C ; C² = B . D ; D² = C . E ; E² = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D²

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n , vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a _n = a₁ . q^n-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a² + b² + c² .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x³ = 729 = 3⁶ = 3³ . 3³ = 9³ , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q² – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q² – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a² + b² + c² = 27² + 9² + 3² = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:
A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
S = (10 – 1) + (10² – 1) + (10³ – 1) + (10⁴ – 1) + ... + (10ⁿ – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ ) – n

Vamos calcular a soma S_n = 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ , que é uma PG de primeiro termo a₁ = 10, razão q = 10 e último termo a_n = 10ⁿ . Teremos:
S_n = (a_n.q – a₁) / (q –1) = (10ⁿ . 10 – 10) / (10 – 1) = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n + n = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10ⁿ⁺¹ – 9(S + n) = 10ⁿ⁺¹ – 9(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9 = 10ⁿ⁺¹ – (10ⁿ⁺¹ – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente
é igual a:
A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2. x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...}

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a₁ = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a₁ / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...} = x¹ = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.
Resposta: 3