Função Modular

A função modular f : R -> R é definida por f (x) = |x|, se:

• |x| = x , se x > 0
• -x , se x <>

, portanto temos que a função modular é definida por duas sentenças: f (x) = x, se x>0 e f (x) = -x, se x<0.

Equação modular

A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: Se a > 0 e |x| = a, então x = a ou x = -a; Se a=0 e |x| = 0, então x = 0.

Exemplos:

1) Resolver |3x – 2| = 2

• |3x – 1| = 2 -> 3x –1 = 2 -> x = 1, ou
• 3x –1 = -2 ->x = -1/3

Resposta: S = {1, -1/3}

2) Resolver: |2x – 1| = |x + 3|

|2x – 1| = |x + 3| ->

• 2x – 1 = x + 3 -> x = 4
• 2x – 1 = - x – 3 -> x = -2/3

Resposta: S = {4, -2/3}

Gráfico

Para construir o gráfico da função modular procedemos assim:

1^º passo: construímos o gráfico da função onde f(x)> 0

2^º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de – f(x) (“rebate” para o outro lado na vertical).

3^º passo: une-se os gráficos

Exemplos:

f(x) = |x| f(x) = |x – 2|

f(x) = |x² – 4|

Inequação modular

|x| > a Û x < -a ou x > a

|x| < src="http://www.ficharionline.com/imagens_conteudo/img5810n5.gif" height="26" width="99">

Exemplos:

1) Resolver a inequação: | x – 1| <>

| x – 1| <> -4 <>

-3 <>

Resposta: S = {x E R| -3 <>

2) Resolver a inequação: | 2x – 3| > 7

| 2x – 3| > 7-> 2x – 3 < -7 -> x < -2

2x – 3 > 7 -> x > 5

Resposta: S = {x E R| x < -2 ou x > 5 }

Geometria Espacial, Cone

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.


Elementos do cone

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

g² = h² + R²

4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Lat = Pi R g

5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):

A_Total = Pi R g + Pi R²

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:

A_Base=Pi R²

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(2R)² = h² + R²
h² = 4R² - R² = 3R²

Assim:

h = R

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R³

Como a área lateral pode ser obtida por:

A_Lat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R²

então a área total será dada por:

A_Total = 3 Pi R²

Exercícios resolvidos

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

sen(60^o) = h/20
(1/2) = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) Pi r² h
(1/3) Pi 10² 10 = (1/3) 1000 Pi cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat = Pi r g = Pi 10 20 = 200 Pi cm²
A_total = A_lat + A_base
A_total = Pi r g + Pi r² = Pi r (r+g)
A_total = Pi 10 (10+20) = 300 Pi cm²

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2) = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua area mede 2 m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m³. Determine o comprimento do cateto c.

Como a área do triangulo mede 2 m², segue que

(1/2) b c = 2

implicando que

b.c=4

V =(1/3) A_base h
16 Pi = (1/3) Pi R² b
16 Pi = (1/3) Pi c c b
16 = c(4/3)
c = 12 m

4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

h_prisma = 12
A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

5.

Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V_cilindro - V_cone
V = A_base h - (1/3) A_base h
V = Pi R² h - (1/3) Pi R² h
V = (2/3) Pi R² h cm³

Geometria Espacial, Esfera

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

S^o = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S¹ = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:

S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R⁴ é dada por:

S³ = { (w,x,y,z) em R⁴: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:

x² + y² + z² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:

x² + y² + z² < R²

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (x_o,y_o,z_o), a equação da esfera é dada por:

(x-x_o)² + (y-y_o)² + (z-z_o)² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-x_o)² + (y-y_o)² + (z-z_o)² < R²

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R²

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h₁ e raio da base r₁ e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h₂ e raio da base r₂, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Objeto	Relações e fórmulas
Esfera	Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R²
Calota esférica (altura h, raio da base r)	R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6
Segmento esférico (altura h, raios das bases r1>r²)	R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por:

x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:

r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)

A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de:

0<m<R, 0<t<2Pi

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

ou seja

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

ou seja:

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Após alguns cálculos obtemos:

V_C(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

V_C(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte

Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

V_C(d) = Pi d²(3R-d)/3

e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever ov olume da calota vazia em função de h:

V_C(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3

que pode ser simplificada para:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Geometria Espacial

Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R³ de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R³ pode ser determinado por qualquer uma das situações:

• Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);
• Um ponto e uma reta que não contem o ponto;
• Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;
• Duas retas paralelas que não se sobrepõe;
• Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;
• Duas retas concorrentes;
• Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R³ podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R³, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R³, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.
Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R³ são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R³ são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

Geometria Analítica, Parábola

1 - Introdução

Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."

Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).

2 - Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y² = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x₀, y₀)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x₀, y₀), a equação acima fica:
(y - y₀)² = 2p(x-x₀)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x² = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x₀, y₀)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x₀, y₀), a equação acima fica: (x - x₀)² = 2p(y - y₀)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y² = 2.4.x \ y² = 8x ou y² - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)² = 2.4(x - 2)² \ y² = 8(x-2) \ y² - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)² = 2.8(x - 2) \ y² - 6y + 9 = 16x - 32 \ y² - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)² = 2.6(y - 1) \ x² = 12y - 12 \ x² - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Exercício proposto

Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x² - 4x - 4y + 8 = 0

Geometria Analítica, Hipérbole

Hipérbole de centro na origem (0,0)

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a

Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A₁A₂ é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B₁B₂ é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c² = a² + b²
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² - a².y² = a².b², onde b² = c² – a² , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A₁A₂) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B₁B₂) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x² - 16y² – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x² - 16y² = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 16 e b² = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c² = a² + b² , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x² – 9y² = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=9 e b²=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c² = a² + b² = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R₁: y = (b/a).x e R₂: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo: